문제 설명

콜라츠 추측이란 로타르 콜라츠(Lothar Collatz)가 1937년에 제기한 추측으로 모든 자연수 k에 대해 다음 작업을 반복하면 항상 1로 만들 수 있다는 추측입니다.

1-1. 입력된 수가 짝수라면 2로 나눕니다.

1-2. 입력된 수가 홀수라면 3을 곱하고 1을 더합니다.

2.결과로 나온 수가 1보다 크다면 1번 작업을 반복합니다.

예를 들어 주어진 수가 5 라면 5 ⇒ 16 ⇒ 8 ⇒ 4 ⇒2 ⇒ 1 이되어 총 5번만에 1이 됩니다.

수가 커졌다 작아지기를 반복하는 모습이 비구름에서 빗방울이 오르락내리락하며 우박이 되는 모습과 비슷하다고 하여 우박수 또는 우박수열로 불리기도 합니다. 현재 이 추측이 참인지 거짓인지 증명되지 않았지만 약 1해까지의 수에서 반례가 없음이 밝혀져 있습니다.

은지는 우박수열을 좌표 평면 위에 꺾은선 그래프로 나타내보려고 합니다. 초항이 k인 우박수열이 있다면, x = 0일때 y = k이고 다음 우박수는 x = 1에 표시합니다. 이런 식으로 우박수가 1이 될 때까지 점들을 찍고 인접한 점들끼리 직선으로 연결하면 다음과 같이 꺾은선 그래프를 만들 수 있습니다.

은지는 이렇게 만든 꺾은선 그래프를 정적분 해보고 싶어졌습니다. x에 대한 어떤 범위 [a, b]가 주어진다면 이 범위에 대한 정적분 결과는 꺾은선 그래프와 x = a, x = b, y = 0 으로 둘러 쌓인 공간의 면적과 같습니다. 은지는 이것을 우박수열 정적분이라고 정의하였고 다양한 구간에 대해서 우박수열 정적분을 해보려고 합니다. 0 이상의 수 b에 대해 [a, -b]에 대한 정적분 결과는 x = a, x = n - b, y = 0 으로 둘러 쌓인 공간의 면적으로 정의하며, 이때 n은 k가 초항인 우박수열이 1이 될때 까지의 횟수를 의미합니다.

예를 들어, 5를 초항으로 하는 우박수열은 5 ⇒ 16 ⇒ 8 ⇒ 4 ⇒ 2 ⇒ 1 입니다. 이를 좌표 평면으로 옮기면 (0, 5), (1, 16), (2, 8), (3, 4), (4, 2), (5, 1) 에 점이 찍히고 점들을 연결하면 꺾은선 그래프가 나옵니다. 이를 [0,0] 구간에 대해 정적분 한다면 전체 구간에 대한 정적분이며, [1,-2] 구간에 대해 정적분 한다면 1 ≤ x ≤ 3인 구간에 대한 정적분입니다.

우박수의 초항 k와, 정적분을 구하는 구간들의 목록 ranges가 주어졌을 때 정적분의 결과 목록을 return 하도록 solution을 완성해주세요. 단, 주어진 구간의 시작점이 끝점보다 커서 유효하지 않은 구간이 주어질 수 있으며 이때의 정적분 결과는 -1로 정의합니다.

제한 사항

• 2 ≤ k ≤ 10,000

• 1 ≤ ranges의 길이 ≤ 10,000

• ranges의 원소는 [a, b] 형식이며 0 ≤ a < 200, -200 < b ≤ 0 입니다.

• 주어진 모든 입력에 대해 정적분의 결과는 227 을 넘지 않습니다.

• 본 문제는 정답에 실수형이 포함되는 문제입니다. 입출력 예의 소수 부분 .0이 코드 실행 버튼 클릭 후 나타나는 결괏값, 기댓값 표시와 다를 수 있습니다.

입출력 예

접근

1. k를 이용해서 1로 만들 수 점들을 구한다.

2. 1에서 구한 점들로 좌표를 구한다.

3. 구한 좌표고 그래프를 만들고 면적을 구한다.

4. 구간들(ranges)에서의 정적분 결과를 return한다.

구현 Code

def area(a, b):
    if a <= b:
        return a + (b - a) / 2
    else:
        return b + (a - b) / 2


def get_point(k):
    points = [k]
    while True:
        if k == 1:
            return points
        if k % 2 == 0:
            k /= 2
            points.append(k)
        else:
            k = k * 3 + 1
            points.append(k)


def solution(k, ranges):
    answer = []
    areas = []
    points = get_point(k)

    for i in range(len(points) - 1):
        areas.append(area(points[i], points[i + 1]))

    for a, b in ranges:
        b = len(points) - abs(b) - 1
        if a > b:
            answer.append(-1)
        else:
            answer.append(sum(areas[a:b]))
    return answer

함수 설명

area(a, b)

• 면적을 구하는 함수 </br>

$f(a,b) = a + (b-a) / 2$ 혹은 $f(a,b) = b + (a-b) / 2$

get_point(k)

• k를 1로 만들기 위해 구하는 점들

1-1. 입력된 수가 짝수라면 2로 나눕니다.

1-2. 입력된 수가 홀수라면 3을 곱하고 1을 더합니다.

2. 결과로 나온 수가 1보다 크다면 1번 작업을 반복합니다.